矩形也叫长方形, 是有一个内角是直角的平行四边形.四边形中, 四边相等且四个角是直角的, 叫做正方形; 四个角是直角, 但对边等长, 叫做长方形. 从这个定义可以得出矩形两条相对的边等长, 也就是说矩形是平行四边形. 正方形是四个边都等长的矩形.
定义
至少有三个内角都是直角的四边形是矩形，矩形也叫长方形。在几何中, 矩形定义为有一个角是直角的平行四边形, 正方形是特殊的矩形.
在四边形中, 四边相等且四个角是直角的, 叫做正方形; 四个角是直角, 但对边等长, 叫做长方形. 从这个定义可以得出矩形两条相对的边等长, 也就是说矩形是平行四边形. 正方形是四个边都等长的矩形.
对于矩形两对相对的边, 我们称横边为长, 竖边为宽, 矩形的面积是长和宽的乘积. 在微积分中，黎曼积分可以被看成是无穷多任意小的矩形面积的和的极限.
性质
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由于矩形是特殊的平行四边形, 故包含平行四边形的所有性质. 矩形的性质大致总结如下:
1. 矩形具有平行四边形的所有性质: 对边平行且相等, 对角相等, 邻角互补, 对角线互相平分;
2. 矩形的四个角都是直角;
3. 矩形的对角线相等;
4. 具有不稳定性(易变形);
5. 矩形所有角位于单个圆上;
6. 矩形所有角位于同一对称轨道内；
7. 矩形具有两条反射对称线和2阶旋转对称线;
8. 矩形与菱形互为对偶图形, 矩形的双重多边形是菱形, 如下表所示:
| 矩形 | 菱形 |
| 所有角都相等. | 所有边都相等. |
| 对应变相等. | 对应角相等. |
| 矩形中心到各顶点距离相等, 具有外接圆. | 菱形中心到各边距离相等, 具有内接圆. |
| 对称轴平分对边. | 对称轴平分对角. |
| 对角线长度相等. | 对角线相互垂直平分. |
判定
当凸四边形满足以下任意性质, 则它是矩形:
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形;
2. 对角线相等的平行四边形是矩形;
3. 有三个角是直角的四边形是矩形;
4. 定理: 经过证明, 在同一平面内, 任意两角是直角, 任意一组对边相等的四边形是矩形;
5. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形;
6. 具有连续边的凸四边形,若其面积为,则为矩形;
7.具有连续边的凸四边形,若其面积为,则为矩形.
相关公式
如果矩形的长度为,宽度为,则；
它的面积为;
它的周长;
每个对角线的长度为;
当时,矩形是正方形.
定理
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1.矩形的等长定理指出,在给定周长的所有矩形中,正方形的面积最大;
2.具有垂直对角线的任何四边形的边的中点构成一个矩形;
3.日本循环四边形定理指出,由循环四边形的顶点一次取三个所决定的四个三角形的中心构成一个矩形;
4.英国国旗定理指出,对于矩形同一平面上的任意点P,满足:
5.对于平面中的每个凸体,我们可以在上刻一个矩形,这样就可以在的周围刻上的同形副本,并且正相似比最大为2和
黄金矩形
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宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们一协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,如希腊的巴特农神庙等.
交叉矩形
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交叉的(自相交)四边形由非自相交四边形的两条相对边以及两个对角线组成.类似地,交叉的矩形是交叉的四边形,它由矩形的两条相对边以及两个对角线组成.它具有与矩形相同的顶点排列,它显示为具有相同顶点的两个相同的三角形,但几何相交不视为顶点.
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交叉的四边形有时类似于领结或蝴蝶,扭曲的三维矩形线框可以采用领结的形状,交叉的矩形有时称为”八角形”.交叉矩形的内部在每个三角形中的多边形密度可以为±1,这取决于顺时针或逆时针的绕组方向.交叉的矩形不等角.与任何交叉的四边形一样,其内角的总和(两个锐角和两个反射角)为720°.
矩形和交叉的矩形均是四边形, 具有以下共同的属性:
1. 相对的边长相等;
2. 两个对角线的长度相等;
3. 它具有两条反射对称线和2阶旋转对称线(通过180°).
其他矩形
在球面几何中, 球面矩形是一种图形, 它的四条边是相交于大于90度角的大圆弧. 对边的弧长度相等, 欧几里得立体几何中的球面是椭圆几何意义上的非欧几里得曲面, 球面几何是椭圆几何最简单的形式. 在椭圆几何中, 椭圆矩形是在椭圆平面上的图形, 它的四条边是相交于大于90度角的椭圆弧, 对边的弧长度相等. 在双曲几何中, 双曲矩形是双曲平面上的一种图形, 其四边为双曲弧, 并以小于90的等角相交, 对边的弧长度相等.
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